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Mathematik für Physiker I

Wintersemester 2017/18

 

Vorlesungsverzeichnis

 

Vorlesung 1 (16.10.17) 
Vorlesung 2 (17.10.17)
Mengen Relationen
   1.1 Aussagen     2.1 Binäre Relationen
   1.2 Der Mengenbegriff     2.2 Äquivalenzrelation
   1.3.Mengenoperationen                
Vorlesung 3 (18.10.17)
Vorlesung 4 (23.10.17)
 Rationale Zahlen
 Reelle Zahlen
   3.1 Axiome des Körpers
   4.1 Quadratwurzel aus 2 
   3.2 Anordnung
   4.2 Obere und untere Schranken
   3.3 Einbettung von ganzen Zahlen
   4.3 Supremumsaxiom
   3.4 Das Prinzip der vollständigen Induktion    4.4 Summen, Produkte, Fakultäten
     4.5 Existenz der n-ten Wurzel
Vorlesung 5 (24.10.17)
Vorlesung 6 (25.10.17)   
 Abbildungen  Komplexe  Zahlen 
   5.1 Grundlegende Begriffe
   6.1 Körper der komplexen Zahlen
   5.2 Komposition
   6.2 Isomorphe Körper
   5.3 Die Mächtigkeit unendlicher Mengen
   6.3 Konjugierte Zahlen
   5.4 Abzählbar unendliche Mengen
   6.4 Der absolute Betrag 
     6.5 Polardarstellung
     6.6 Potenzen und Wurzeln
Vorlesung 7 (30.10.17)  Vorlesung 8 (01.11.17) 
 Vektorräume
 Erzeugendensysteme
   7.1 Der Euklidische Raum
   8.1 Erzeugendensysteme
   7.2 Der Begriff des Vektorraums
   8.2 Lineare Unabhängigkeit 
   7.3 Unterraum
   8.3 Basis
  
   8.4 Dimension
Vorlesung 9 (06.11.17)  Vorlesung 10 (07.11.17) 
 Unitäre Räume 
 Orthogonalzerlegung
   9.1 Skalarprodukte 
  10.1 Orthogonalisierungsverfahren
   9.2 Schwarzsche Ungleichung
  10.2 Orthogonalzerlegung
   9.3 Orthogonalsysteme
  10.3 Trigonometrisches System
Vorlesung 11 (08.11.17) Vorlesung 12 (13.11.17) 
 Normen und Metriken 
 Folgen in metrischen Räumen
  11.1 Normierte Räume
  12.1 Konvergenz
  11.2 Metrische Räume
  12.2 Beschränkte Folgen
 
  12.3 Cauchy-Folgen  
    12.4 Beispiele
Vorlesung 13 (14.11.17) Vorlesung 14 (15.11.17)
 Reelle Folgen
 Reihen
  13.1 Monotone Folgen
  14.1 Operationen mit Reihen
  13.2 Stabilität des Grenzwertes
  14.2 Absolut konvergente Reihen
  13.3 Vollständigkeit der reellen Achse
  14.3 Das Cauchy-Produkt
  13.4 Die Zahl e  
Vorlesung 15 (20.11.17) Vorlesung 16 (21.11.17)
 Einige Kriterien zur Konvergenz
 Stetigkeit
  15.1 Vergleichskriterium
  16.1 Stetige Abbildungen
  15.2 Quotientenkriterium
  16.2 Folgenkriterium
  15.3 Leibniz-Kriterium 
  16.3 Stetigkeit der Exponentialfunktion
  15.4 Exponentialfunktion 
 
  15.5 Die Eulersche Formel   
Vorlesung 17 (22.11.17)  Vorlesung 18 (27.11.17)
 Topologische Begriffe 
 Zwischenwertsatz  
  17.1 Offene Mengen 
  18.1 Stetigkeit und Zusammenhang
  17.2 Häufungspunkte 
  18.2 Der Zwischenwertsatz von Bolzano 
  17.3 Topologisches Kriterium der Stetigkeit   18.3 Näherungslösungen von Gleichungen
Vorlesung 19 (28.11.17)  Vorlesung 20 (29.11.17) 
 Extremwerte    Elementare Funktionen
  19.1 Kompakte Mengen
  20.1 Stetigkeit der Umkehrfunktion
  19.2 Der Satz von Heine-Borel   20.2 Wurzelfunktion
  19.3 Extremwerte stetiger Funktionen 
  20.3 Der Logarithmus
  19.4 Beispiele   20.4 Potentfunktion
    20.5 Inverse trigonometrische Funktionen
Vorlesung 21 (04.12.17)  Vorlesung 22 (05.12.17) 
 Differenzierbarkeit
 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 
  21.1 Differentialquotient
  22.1 Der Mittelwertsatz
  21.2 Beispiele
  22.2 Der Satz von Darboux 
  21.3 Rechenregeln
 
  21.4 Die Kettenregel  
  21.5 Ableitung der Umkehrfunktion
 
Vorlesung 23 (06.12.17)  Vorlesung 24 (11.12.17)
 Höhere Ableitungen
 Anwendungen
  23.1 Sukzessive Definition 
  24.1 Vielfachheit
  23.2 Die Regel von l'Hospital
  24.2 Polynome
    24.3 Fundamentalsatz der Algebra 
    24.4 Interpolation
Vorlesung 25 (12.12.17)  Vorlesung 26 (13.12.17)  
 Die Taylor-Formel 
 Das Riemann-Integral 
  25.1 Taylor-Polynome
  26.1 Treppenfunktionen
  25.2 Abschätzungen des Restglieds 
  26.2 Das Ober- und Unterintegral
  25.3 Taylor-Reihe   26.3 Die Dirichlet-Funktion
    26.4 Eigenschaften des Integrals
Vorlesung 27 (18.12.17)  Vorlesung 28 (19.12.17) 
 Riemann-integrierbare Funktionen 
 Der Hauptsatz der Analysis 
  27.1 Integrierbarkeit von stetigen Funktionen
  28.1 Stammfunktion
  27.2 Integrierbarkeit von monotonen Funtionen 
  28.2 Einige Integrationsverfahren 
                                                                                   
  28.3 Integration von rationalen Funktionen
    28.4 Der Hauptsatz der Analysis
Vorlesung 29 (20.12.17)  Vorlesung 30 (08.01.18) 
 Uneigentliche Integrale 
 Die Gammafunktion 
  29.1 Integrale von unbeschränkten Funktionen
  30.1 Eigenschaften
  29.2 Integrale über unbeschränkte Intervalle
  30.2 Funktionalgleichung
  29.3 Das Gaußsche Fehlerintegral 
  30.3 Der Satz von Bohr-Mollerup
  29.4 Die Riemannsche Zetafunktion
  30.4 Die Stirlingsche Formel
  29.5 Der Cauchy-Hauptwert  
Vorlesung 31 (09.01.18)  Vorlesung 32 (10.01.18) 
 Gleichmäßige Konvergenz  Potenzreihen
  31.1 Punktweise Konvergenz     32.1 Konvergenzkriterium von Weierstraß
  31.2 Die Supremumsnorm    32.2 Konvergenzradius  
  31.3 Stetigkeit des Grenzwertes    32.3 Gliedweise Differentiation 
  31.4 Integrierbarkeit des Grenzwertes     32.4 Binomialreihe  
  31.5 Differenzierbarkeit des Grenzwertes    
Vorlesung 33 (15.01.18)  Vorlesung 34 (16.01.18) 
 Faktorräume   Lineare Abbildungen
  33.1 Definition     34.1 Lineare Abbildungen
  33.2 Dimension des Faktorraums    34.2 Beispiele 
    34.3 Vektorraum der linearen Abbildungen
    34.4 Multiplikative Struktur
Vorlesung 35 (17.01.18)  Vorlesung 36 (22.01.18) 
 Homomorphiesatz   Matrizen
  35.1 Isomorphismen    36.1 Zusammenhang zu linearen Abbildungen
  35.2 Homomorphiesatz   36.2 Multiplikation von Matrizen 
  35.3 Folgerungen   36.3 Invertierbare Matrizen 
    36.4 Transponierte Matrix
Vorlesung 37 (23.01.18)  Vorlesung 38 (24.01.18) 
 Rang der Matrix  Gleichungssysteme
  37.1 Rang von linearen Abbildungen   38.1 Gleichungssysteme 
  37.2 Spalten- und Zeilen Rang   38.2 Der Gaußsche Algorithmus
  37.3 Spur der Matrix   38.3 Lösbarkeit
  37.4 Projektionen
 
Vorlesung 39 (29.01.18)  Vorlesung 40 (30.01.18) 
 Determinante des Produktes  Die Cramersche Regel
  39.1 Multiplikativität der Determinante    40.1 Cramersche Regel 
  39.2 Charakterisierung von invertierbaren Matrizen
  40.2 Volumenfunktionen
  39.3 Komplementäre Matrix
 
Vorlesung 41 (31.01.18)  Vorlesung 42 (05.02.18) 
 Eigenwerte   Die Jordansche Normalform
  41.1 Eigenwerte von linearen Abbildungen   42.1 Jordansche Kästchen
  41.2 Das charakteristische Polynom
  42.2 Jordansche Normalform
  41.3 Satz von Caley-Hamilton   42.3 Beispiel
  41.4 Eigenvektoren
  42.4 Praktisches Vorgehen 
  41.5 Invariante Unterräume
 
Vorlesung 43 (06.02.18)  Vorlesung 44 (07.02.18) 
 Hermitesche Operatoren
 Funktionen von Matrizen
  43.1 Selbstadjungierte Matrizen
  44.1 Definition
  43.2 Eigenwerte
  44.2 Berechnen
  43.3 Hauptvektoren
  44.3 Beispiele
<43.4 Diagonalisierbarkeit