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Distributionentheorie

Wintersemester 2016/17

 

Vorlesungsverzeichnis

 

Vorlesung 1 (17.10.16)
Vorlesung 2 (18.10.16)
Variationsrechnung  Distributionen                  
   1.1 Variationsprobleme
    2.1 Testfunktionen
   1.2 Euler-Lagrange Gleichungen
    2.2 Distributionen
   1.3 Schwache Lösungen          2.3 Konvergenz      
   1.4 Regularität
 
   
Vorlesung 3 (24.10.16)
Vorlesung 4 (25.10.16)
 Reguläre Distributionen
 Regularisierung divergenter Integrale
   3.1 Verallgemeinerte Funktionen
   4.1 Divergente Integrale 
   3.2 Singuläre Distributionen
   4.2 Der Cauchy-Hauptwert
   3.3 Die Dirac-Funktion
   4.3 Der finite Teil
   
Vorlesung 5 (01.11.16)  Vorlesung 6 (07.11.16) 
 Die Riemann-Liouville-Hadamardsche Algebra  Die Abel-Transformation
   5.1 Gebrochene Ableitung
   6.1 Abelsche Integralgleichung
   5.2 Riemann-Liouville Kalkül 
   6.2 Anwendung und Geschichte
   
Vorlesung 7 (08.11.16)  Vorlesung 8 (14.11.16) 
 Grenzwerte holomorpher Funktionen
 Operationen mit Distributionen 
   7.1 Das Cauchy-Integral 
   8.1 Differentiation
   7.2 Sokhotskij-Plemelj Formeln
   8.2 Produkt
   7.3 Die Hilbert-Transformation
   8.3 Beispiel von Schwartz
     8.4 Rücktransport
   
Vorlesung 9 (15.11.16)  Vorlesung 10 (21.11.16) 
 Lokale Eigenschaften
 Distributionen mit Punktträger 
   9.1 Träger
  10.1 Invarianz unter Differentialoperatoren   
   9.2 Distributionen mit kompaktem Träger
  10.2 Der Struktursatz  
   
Vorlesung 11 (22.11.16) Vorlesung 12 (28.11.16)
 Kernsatz von Schwartz
 Temperierte Distributionen
  11.1 Tensorprodukt von Distributionen
  12.1 Schnell fallende Funktionen
  11.2 Der Kernsatz
  12.2 Langsam wachsende Distributionen
   
Vorlesung 13 (29.11.16) Vorlesung 14 (05.12.16)
 Homogene Distributionen
 Fouriertransformation
  13.1 Gebrochene Potenzen
  14.1 Fouriertransformation temperierter Distributionen
  13.2 Fortsetzung
  14.2 Eigenschaften
   
Vorlesung 15 (06.12.16) Vorlesung 16 (12.12.16)
 Die inverse Fouriertransformation
 Faltung von Distributionen
  15.1 Inversionsformel für schnell fallende Funktionen
  16.1 Allgemeine Definition
  15.2 Inversionsformel für temperierte Distributionen
  16.2 Eigenschaften
   
Vorlesung 17 (13.12.16) Vorlesung 18 (02.01.17)
 Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
 Fundamentallösungen
  17.1 Charakteristische Gleichung
  18.1 Konstruktion
  17.2 Exponentiallösungen
  18.2 Darstellung der allgemeinen Lösung
   
Vorlesung 19 (03.01.17) Vorlesung 20 (09.01.17)

 Differentialgleichungen mathematischer Physik

 Die Radon-Transformation
  19.1 Fundamentallösung der Laplace-Gleichung
  20.1 Radon-Transformation von Testfunktionen
  19.2 Das Newton-Potential
  20.2 Verallgemeinerung auf Distributionen
  19.3 Andere Gleichungen
  20.3 Eigenschaften
   
Vorlesung 21 (10.01.17) Vorlesung 22 (16.01.17)
 Die inverse Radon-Transformation
 Satz von Paley-Wiener
  21.1 Die Inversionsformel
  22.1 Fouriertransformation von Distributionen mit kompaktem Träger
  21.2 Beweis
  22.2 Der Satz von Paley-Wiener
   
Vorlesung 23 (17.01.17) Vorlesung 24 (23.01.17)
 Sobolev-Räume
 Charakterisierung mittels Fouriertransformation
  23.1 Funktionen mit verallgemeinerten Ableitungen
  24.1 Der Satz von Plancherel 
  23.2 Normierte Räume
  24.2 Charakterisierung der Sobolev-Räume
   
Vorlesung 25 (24.01.17) Vorlesung 26 (30.01.17) 
 Integraldarstellungen von Funktionen  Der Einbettungssatz von Sobolev
  25.1 Gebiete mit Kegeleigenschaft
  26.1 Die Sobolevsche Ungleichung 
  25.2 Integraldarstellungen
  26.3 Beweis
   
Vorlesung 27 (31.01.17) Vorlesung 28 (06.02.17)
 Der Spursatz von Sobolev 
 Summationsformel von Poisson 
  27.1 Spur einer Funktion
  28.1 Beweis
  27.2 Der Spursatz
  28.2 Anwendungen
   
Vorlesung 29 (07.02.17)  Vorlesung 30 (??.02.17)
 Wellenfront der Distributionen  
  29.1 Phasenraum-Analysis
 
  29.2 Wellenfront