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Aufbaumodul Analysis III

Wintersemester 2016/17

 

Vorlesungsverzeichnis

 

Vorlesung 1 (20.10.16) 
Vorlesung 2 (21.10.16)
Gewöhnliche Differentialgleichungen Elementare analytische Lösungsmethoden
   1.1 Differentialgleichungen     2.1 Trennung der Variablen
   1.2 Reduktion der Ordnung     2.2 Lineare Gleichungen erster Ordnung
   1.3.Erstes Integral           2.3 Bernoulli-Gleichung      
   1.4 Allgemeine Lösung
 
   1.5 Lineare Gleichungen 
 
   
Vorlesung 3 (27.10.16)
Vorlesung 4 (28.10.16)
 Potenzreihen als Lösungen
 Grundbegriffe für dynamische Systeme
   3.1 Formale Lösungen
   4.1 Phasenraum
   3.2 Besselsche Differentialgleichung
   4.2 Trajektorien
   3.3 Bessel-Funktionen
   4.3 Phasenporträt
     4.4 Richtungsfeld
   
Vorlesung 5 (03.11.16)
Vorlesung 6 (04.11.16)   
 Existenz der Lösung  Eindeutigkeit der Lösung 
   5.1 Anfangswertprobleme
   6.1 Gegenbeispiele zur Eindeutigkeit 
   5.2 Gegenbeispiele zur Existenz
   6.2 Lipschitz-stetige Funktionen
   5.3 Euler-Polygone
   6.3 Satz von Picard-Lindelöf
   5.4 Satz von Peano
  
   5.5 Beweisskizze
 
   
Vorlesung 7 (10.11.16)  Vorlesung 8 (11.11.16) 
 Picard-Iterationen
 Zeitabhängige normale Systeme
   7.1 Picard-Iterierte
   8.1 Fundamentalsysteme der Lösungen 
   7.2 Fehlerabschätzung
   8.2 Fundamentalmatrix 
   7.3 Abhängigkeit von Anfangswerten
   8.3 Cauchy-Matrix
   7.4 Phasenflüsse        
   8.4 Variation der Konstanten
   
Vorlesung 9 (17.11.16)  Vorlesung 10 (18.11.16) 
 Einzelgleichungen mit konstanten Koeffizienten
 Ebene autonome Systeme
   9.1 Quasipolynome 
  10.1 Linearisierung eines autonomen Systems 
   9.2 Charakteristische Gleichung
  10.2 Phasenporträt
   9.3 Euler-Theorie
  10.3 Grenzzyklen
 
  10.4 Attraktoren
   
Vorlesung 11 (24.11.16) Vorlesung 12 (25.11.16) 
 Stabilitätsbegriffe für Gleichgewichtslagen 
 Sigma-Algebren
  11.1 Linearisierungssatz
  12.1 Motivation der Maßtheorie
  11.2 Stabilität im Sinne von Lyapunov
  12.2 Sigma-Algebren
  11.3 Stabilitätskriterien für lineare Systeme
  12.3 Beispiele  
  11.4 Satz von Lyapunov
 
   
Vorlesung 13 (01.12.16) Vorlesung 14 (02.12.16)
 Borel-Algebra
 Ringe
  13.1 Erzeugte Sigma-Algebren
  14.1 Maß
  13.2 Borelmengen
  14.2 Elementarinhalt
  13.3 Eigenschaften
  14.3 Ringe
    14.4 Figuren
   
Vorlesung 15 (08.12.16) Vorlesung 16 (09.12.16)
 Mengenfunktionen     
 Rechenregel
  15.1 Endlich-additive Mengenfunktionen
  16.1 Rechnen mit Unendlichkeit
  15.2 Fortsetzung des Elementarinhalts
  16.2 Rechenregeln
  15.3 Sigma-additive Mengenfunktionen 
 
   
Vorlesung 17 (15.12.16)  Vorlesung 18 (16.12.16)
 Maßerweiterungssatz
 Messbare Abbildungen 
  17.1 Existenz
  18.1 Definition
  17.2 Eindeutigkeit 
  18.2 Messbarkeit der stetigen Abbildungen 
    18.3 Bildmaß
 
  18.3 Messbarkeit von Verknüpfungen
   
Vorlesung 19 (05.01.14)  Vorlesung 20 (06.01.17) 
 Das Lebesgue-Maß   Messbare Funktionen
  19.1 Translationsinvarianz
  20.1 Messbare Funktionen
  19.2 Verhalten unter Streckung    20.2 Spur einer Sigma-Algebra 
  19.3 Verhalten unter Orthogonaltransformationen 
  20.3 Messbarkeit der Einschränkung 
  19.4 Bewegungsinvarianz   20.4 Operationen mit messbaren Funktionen 
  19.5 Komposition mit linearen Abbildungen
  20.5 Folgen von messbaren Funktionen
  19.6 Beispiel einer nicht-Borelschen Menge
 
   
Vorlesung 21 (12.01.17)  Vorlesung 22 (13.01.17) 
 Das Lebesgue-Integral
 Lebesgue-integrierbare Funktionen 
  21.1 Treppenfunktionen
  22.1 Definition 
  21.2 Lebesgue-Integral von Treppenfunktionen
  22.2 Eigenschaften 
  21.3 Approximation durch Treppenfunktionen
  22.3 Lebesgue-Integral über eine Teilmenge
  21.4 Das Lebesgue-Integral  
   
Vorlesung 23 (19.01.17)  Vorlesung 24 (20.01.17)
 Konvergenzsätze
 L^p-Räume
  23.1 Der Satz von Beppo Levi über monotone Konvergenz 
  24.1 Der L^p-Raum 
  23.2 Nullmengen
  24.2 Höldersche Ungleichung
  23.3 Funktionen mit Integral Null
  24.3 Minkowskische Ungleichung 
   
Vorlesung 25 (26.01.17)  Vorlesung 26 (27.01.17)  
 Nullmengen
 Konstruktion normierter Räume L^p 
  25.1 Eigenschaften
  26.1 Äquivalenz
  25.2 Relevanz für das Lebesgue-Integral 
  26.2 Beispiele
  25.3 Cantor-Menge   26.3 Norm
    26.4 Raum der beschränkten Funktionen 
   
Vorlesung 27 (02.02.17)  Vorlesung 28 (03.02.17) 
 Konvergenz in L^p 
 Integration in R^n 
  27.1 Die Norm-Konvergenz 
  28.1 Vergleich mit dem Riemann-Integral 
  27.2 Punktweise Konvergenz 
  28.2 Beispiel
  27.3 Lemma von Fatou 
  28.3 Uneigentliche Riemann-Integrale 
  27.4 Satz von Lebesgue von der majorisierten Konvergenz  
   
Vorlesung 29 (09.02.17)  Vorlesung 30 (10.02.17) 
 Satz von Fubini 
 Die Substitutionsregel in R^n 
  29.1 Prinzip von Cavalieri 
  30.1 Substitutionsformel für affine Transformationen 
  29.2 Volumenberechnung
  30.2 Beispiel
  29.3 Satz von Tonelli 
  30.3 Diffeomorphismen
  29.4 Satz von Fubini
  30.4 Die Substitutionsregel
    30.5 Polarkoordinaten in der Ebene
    30.6 Andere Koordinatensysteme