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Dynamische Systeme

Sommersemester 2019 

 

Vorlesungsverzeichnis

 

Vorlesung 1 (10.04.19)
Vorlesung 2 (11.04.19)
Phasenräume  Beispiele                  
   1.1 Beispiele für Evolutionsprozesse
   2.1 Die Gleichung der normalen Vermehrung
   1.2 Phasenflüsse
   2.2 Die Explosionsgleichung
   1.3 Integralkurven im Richtungsfeld        2.3 Die logistische Kurve     
   1.4 Eine Differentialgleichung und ihre Lösungen
   2.4 Fangquoten
   1.5 Die Evolutionsgleichung mit eindimensionalem Phasenraum
   2.5 Der Fang mit relativer Quote 
   
Vorlesung 3 (17.04.19)
Vorlesung 4 (18.04.19)
 Gleichungen mit mehrdimensionalem Phasenraum
 Vektorfelder auf der Geraden
   3.1 Die Differentialgleichung eines Räuber-Beute Systems
   4.1 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
   3.2 Ein freies Teilchen auf der Geraden
   4.2 Ein Gegenbeispiel
   3.3 Der freie Fall
   4.3 Beweis der Eindeutigkeit
   3.4 Kleine Schwingungen     4.4 Direkte Produkte 
   3.5 Das mathematische Pendel
   4.5 Beispiele direkter Produkte
   3.6 Das umgedrehte Pendel    4.6 Gleichungen mit trennbaren Veränderlichen
   3.7 Kleine Schwingungen des sphärischen Pendels
 
 
   4.7 Das Volterra-Lotka Modell
Vorlesung 5 (24.04.19)  Vorlesung 6 (25.04.19) 
 Lineare Gleichungen  Phasenflüsse
   5.1 Lineare homogene Gleichungen
   6.1 Die Operation von Gruppen auf einer Menge
   5.2 Lineare homogene Gleichungen erster Ordnung mit periodischen Koeffizienten
   6.2 Einparametrige Transformationsgruppen
   5.3 Lineare inhomogene Gleichungen
   6.3 Einparametrige Gruppen von Diffeomorphismen 
   5.4 Die Greensche Funktion und $\delta$-förmige Inhomogenitäten    6.4 Das Vektorfeld der Phasengeschwindigkeit
   5.5 Lineare inhomogene Gleichungen mit periodischen Koeffizienten  
   
Vorlesung 7 (02.05.19)  Vorlesung 8 (08.05.19) 
 Die Operation von Diffeomorphismen auf Vektorfeldern and Richtungsfeldern
 Symmetrien 
   7.1 Die Operation glatter Abbildungen auf Vektoren
   8.1 Symmetriegruppen
   7.2 Die Operation von Diffeomorphismen auf auf Vektorfeldern
   8.2 Anwendung einer einparametrigen Symmetriegruppe zur Integration einer Gleichung
   7.3 Variablensubstitution in einer Gleichung
   8.3 Homogene Gleichungen
   7.4 Die Operation eines Diffeomorphismus auf einem Richtungsfeld

   8.4 Quasihomogene Gleichungen

   7.5 Die Operation eines Diffeomorphismus auf einem Phasenfluß
  
 

   8.5 Ähnlichkeits- und Dimensionsbetrachtungen

     8.6 Methoden der Integration von Differentialgleichungen
   
Vorlesung 9 (09.05.19)  Vorlesung 10 (15.05.19) 
 Rektifizierungssätze
 Anwendungen auf Gleichungen höherer Ordnung 
   9.1 Rektifizierbare Richtungsfelder
  10.1 Die Äquivalenz einer Gleichung $n$-ter Ordnung zu einem System von $n$ Gleichungen erster Ordnung 
   9.2 Existenz- und Eindeutigkeitsätze
  10.2 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
   9.3 Sätze über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit einer Lösung von den Anfangswerten
  10.3 Differenzierbarkeits- und Fortsetzungssätze
   9.4 Transformationen in der Zeit von $t=0$ bis $t=\infty$
  10.4  Systeme von Gleichungen  
   9.5 Sätze über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit von einem Parameter
  10.5 Bemerkungen zur Terminologie
   9.6 Fortsetzungssätze
 
   9.7 Rektifizierung eines Vektorfeldes
 
   
Vorlesung 11 (16.05.19) Vorlesung 12 (22.05.19)
 Phasenkurven eines autonomen Systems
 Die Ableitung in Richtung eines Vektorfeldes
  11.1 Autonome Systeme
  12.1 Die Ableitung in Richtung eines Vektors
  11.2 Verschiebungen in der Zeit
  12.2 Die Ableitung in Richtung eines Vektorfeldes
  11.3 Geschlossene Phasenkurven
  12.3 Eigenschaften der Richtungsableitung
  
  12.4 Die Lie-Algebra der Vektorfelder
   
Vorlesung 13 (23.05.19) Vorlesung 14 (29.05.19)
 Erste Integrale
 Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung  
  13.1 Erste Integrale
  14.1 Lineare homogene Gleichungen
  13.2 Lokale erste Integrale 
  14.2 Das Cauchy-Problem
  13.3 Zeitabhängige erste Integrale
  14.3 Lineare inhomogene Gleichungen
 
  14.4 Die quasilineare Gleichung
 
  14.5 Die Charakteristiken einer quasilinearen Gleichung
    14.6 Integration einer quasilinearen Gleichung
    14.7 Nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung
   
Vorlesung 15 (05.06.19) Vorlesung 16 (06.06.19)
 Das konservative System mit einem Freiheitsgrad
 Energieniveaulinien
  15.1 Definitionen
  16.1 Nichtkritische Energieniveaulinien
  15.2 Der Energieerhaltungssatz
  16.2 Beweis des Satzes aus Abschnitt 16.1
  15.3 Energieniveaulinien
  16.3 Kritische Niveaulinien
  15.4 Die Energieniveaulinien in der Nähe singulärer Punkte
  16.4 Ein Beispiel
  15.5 Fortsetzung der Lösungen der Newtonschen Gleichung
  16.5 Kleine Störungen eines konservativen Systems
   
Vorlesung 17 (12.06.19) Vorlesung 18 (13.06.19)
 Lineare Probleme
 Die Exponentialfunktion
  17.1 Linearisierung
  18.1 Die Norm eines Operators
  17.2 Einparametrige Gruppen linearer Transformationen des $R^n$
  18.2 Der metrische Raum der Operatoren
  17.3 Die lineare Gleichung
  18.3 Beweis der Vollständigkeit
 
  18.4 Reihen
 
  18.5 Definition der Exponentialfunktion $e^A$
    18.6 Ein Beispiel
    18.7 Die Exponentialfunktion für einen diagonalen Operator
    18.8 Die Exponentialfunktion für einen nilpotenten Operator
    18.9 Quasipolynome
   
Vorlesung 19 (19.06.19) Vorlesung 20 (20.06.19)

 Eigenschaften der Exponentialfunktion

 Die Determinante des Operators $e^A$
  19.1 Die Gruppeneigenschaft
  20.1 Die Determinante eines Operators
  19.2 Der Fundamentalsatz der Theorie linearer Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
  20.2 Die Spur eines Operators
  19.3 Die allgemeine Gestalt einparametriger Gruppen linearer Transformationen des $R^n$
  20.3 Der Zusammenhang zwischen der Determinanten und der Spur
  19.4 Eine zweite Definition der Exponentialfunktion
  20.4 Die Determinante des Operators $e^A$
  19.5 Die Eulersche Formel für $e^z$
  20.5 Praktische Berechnung der Exponentialfunktion für Matrizen
  19.6 Eulersche Polygonzüge
 
   
Vorlesung 21 (26.06.19) Vorlesung 22 (27.06.19)
 Klassifikation der singulären Punkte eines linearen Systems
 Die topologische Klassifizierung singulärer Punkte
  21.1 Singuläre Punkte im dreidimensionalen Raum
  22.1 Ein Satz
  21.2 Lineare, differenzierbare und topologische Äquivalenz
  22.2 Reduktion auf den Fall $m_{-} = 0$
  21.3 Die lineare Klassifikation
  22.3 Die Ljapunov-Funktion
  21.4 Die differenzierbare Klassifikation
  22.4 Konstruktion der Ljapunov-Funktion
    22.5 Eine Abschätzung der Ableitung
    22.6 Die Konstruktion des Homöomorphismus $h$
   
Vorlesung 23 (03.06.19) Vorlesung 24 (04.07.19)
 Stabilität von Gleichgewichtslagen
 Der Fall rein imaginärer Eigenwerte
  23.1 Stabilität nach Ljapunov
  24.1 Topologische Klassifikation
  23.2 Asymptotische Stabilität
  24.2 Ein Beispiel
  23.3 Ein Satz über die Stabilität in erster Näherung
  24.3 Die Phasenkurven auf dem Torus
  23.4 Beweis des Satzes
  24.4 Folgerungen
    24.5 Der mehrdimensionale Fall
    24.6 Die gleichmäßige Verteilung
   
Vorlesung 25 (10.07.19) Vorlesung 26 (11.07.19) 
 Der Fall mehrfacher Eigenwerte  Quasipolynome
  25.1 Die Berechnung von $e^A$ für einen Jordan-Block $A$
  26.1 Ein Funktionenvektorraum 
  25.2 Anwendungen
  26.2 Der Vektorraum der Lösungen einer linearen Gleichung
  25.3 Anwendungen auf Systeme höherer Ordnung   26.3 Invarianz bezüglich Verschiebungen
  25.4 Der Fall einer Gleichung $n$-ter Ordnung    26.4 Eine historische Bemerkung
  25.5 Rekursive Folgen
  26.5 Inhomogene Gleichungen
  25.6 Kleine Schwingungen   26.6 Methode der komplexen Amplitude
    26.7 Anwendung zur Berechnung schwach nichtlinearer Schwingungen
   
Vorlesung 27 (17.07.19) Vorlesung 28 (18.07.19)
 Lineare nichtautonome Gleichungen 
 Lineare Gleichungen mit periodischen Koeffizienten
  27.1 Definition
  28.1 Die Abbildung nach einer Periode
  27.2 Existenz von Lösungen
  28.2 Stabilitätskriterien
  27.3 Der Vektorraum der Lösungen
  28.3 Stark stabile Systeme
  27.4 Die Wronskische Determinante
  28.4 Rechnungen
  27.5 Der Fall einer einzigen Gleichung
 
  27.6 Der Satz von Liouville
 
  27.7 Die Sturmschen Sätze über die Nullstellen der Lösungen einer Gleichung zweiter Ordnung
 
   
Vorlesung 29 (??.07.19)  Vorlesung 30 (??.07.19)
 ?  
  29.1
 
  29.2