Ihre Browserversion ist veraltet. Wir empfehlen, Ihren Browser auf die neueste Version zu aktualisieren.

Variationsrechnung

Sommersemester 2017

 

Vorlesungsverzeichnis

 

Vorlesung 1 (19.04.17)
Vorlesung 2 (21.04.17)
 Fragestellung  Die Gâteaux-Ableitung                  
   1.1 Funktionale
    2.1 Richtungsableitung im R^n
   1.2 Funktionenräume
    2.2 Die Gâteaux-Variation
   1.3 Beispiele         2.3 Kritische Punkte  
   1.4 Brachistochrone-Problem
   
  
 
Vorlesung 3 (26.04.17)
Vorlesung 4 (28.04.17)
 Das Fundamentallemma der Variationsrechnung
 Die Eulersche Gleichung
   3.1 Das Fundamentallemma
   4.1 Variationsaufgabe
   3.2 Verallgemeinerung auf mehrfache Integrale 
   4.2 Die Euler-Lagrange Differentialgleichung
   3.3 Schwache Ableitung 
   4.3 Extremale
   
Vorlesung 5 (05.05.17)  Vorlesung 6 (10.05.17) 
 Die Eulersche Gleichung (Fortsetzung)  Sonderfälle
   5.1 Der kürzeste Weg
   6.1 Sonderfälle 
   5.2 Die Brachistochrone
   6.2 Das Fermat-Prinzip
   5.3 Ein Steuerungsproblem
   6.3 Rotations-Minimalfläche
   
Vorlesung 7 (12.05.17)  Vorlesung 8 (17.05.17) 
 Natürliche Randbedingungen
 Die Transversalitätsbedingung 
   7.1 Die natürliche Randbedingung
   8.1 Die Transversalitätsbedingung
   7.2 Rotations-Minimalfläche
   8.2 Modifizierte Randbedingungen
   7.3 Minimale Formänderungsarbeit
   8.3 Beispiel
   
Vorlesung 9 (19.05.17)  Vorlesung 10 (24.05.17) 
 Allgemeinere Variationsaufgaben
 Variation mit Nebenbedingungen
   9.1 Der Integrand enthält höhere Ableitungen 
  10.1 Allgemeines   
   9.2 Balkenbiegung
  10.2 Isoperimetrische Probleme  
   9.3 Extremalkurven im R^n
  10.3 Beispiel
   
Vorlesung 11 (26.05.17) Vorlesung 12 (31.05.17)
 Nebenbedingungen in Gleichungsform
 Ausdehnung auf mehrfache Integrale 
  11.1 Die Euler-Gleichungen
  12.1 In der Ebene
  11.2 Die Geodätischen auf einer Fläche im R^3
  12.2 Die Ostrogradskij-Gleichung
  11.3 Geodätische der Sphäre
  12.3 Im Raum
  11.4 Geodätische des geraden Kreiszylinders
 
   
Vorlesung 13 (02.06.17) Vorlesung 14 (07.06.17)
 Anwendungen
 Geometrische Theorie der Extremalprobleme
  13.1 Die schwingende Saite
  14.1 Die kanonischen Veränderlichen
  13.2 Das Plateau-Problem 
  14.2 Kanonische Form der Euler-Gleichung
  13.3 Die schwingende Membran
  14.3 Die Legendre-Transformation
   
Vorlesung 15 (09.06.17) Vorlesung 16 (14.06.17)
 Das Extremalenfeld im Dreidimensionalen
 Die allgemeine Theorie der Extremalenfelder
  15.1 Quasilänge
  16.1 Die Hamilton-Jacobischen Gleichungen
  15.2 Eikonal
  16.2 Ein Ausnahmefall
  15.3 Die Hamilton-Jacobischen Gleichungen   16.3 Der Jacobische Satz
   
Vorlesung 17 (16.06.17) Vorlesung 18 (21.06.17)
 Erhaltungsgesetze
 Diskontinuierliche Lösungen
  17.1 Der Satz von Emmy Noether
  18.1 Ein instruktives Beispiel
  17.2 Erhaltungsgesetze
  18.2 Diskontinuierliche Lösungen
    18.3 Extrema bei einseitigen Bindungen
   
Vorlesung 19 (23.06.17) Vorlesung 20 (28.06.17)
 Die zweite Variation eines Funktionals
 Schwache und starke Extrema
  19.1 Die zweite Variation
  20.1 Schwache Extrema
  19.2 Die Bedingung von Legendre
  20.2 Starke Extrema
  19.3 Die Bedingung von Jacobi
  20.3 Geometrische Bedeutung der Jacobischen Bedingung
   
Vorlesung 21 (30.06.17) Vorlesung 22 (05.07.17)
 Die Weierstraßsche Funktion
 Das Ostrogradskij-Hamiltonsche Prinzip
  21.1 Hilbertsches invariantes Integral
  22.1 Mechanik der Punktsysteme
  21.2 Die Weierstraßsche Funktion
  22.2 Das Ostrogradskij-Hamiltonsche Prinzip
  21.3 Eine hinreichende Bedingung
  22.3 Die Eulerschen Gleichungen
   
Vorlesung 23 (07.07.17) Vorlesung 24 (12.07.17)
 Das Prinzip der kleinsten Wirkung
 Quadratische Funktionale
  23.1 Die Eulerschen Gleichungen
  24.1 Variaationsaufgabe mit festen Endpunkten
  23.2 Die Jacobische Form des Prinzips
  24.2 Die Euler-Gleichung 
  23.3 Die Lagrangesche Form des Prinzips
  24.3 Die Sturm-Liouville-Probleme
   
Vorlesung 25 (14.07.17) Vorlesung 26 (19.07.17) 
 Das absolute Extremum  Das Wechselspiel Variationsaufgaben 
  25.1 Das allgemeine Integral 
  26.1 Allgemeines 
  25.2 Existenz von C^2 Lösungen 
  26.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen
  25.3 Ein Beispiel der Nichtexistenz
  26.3 Partielle Differentialgleichungen
   
Vorlesung 27 (21.07.17) Vorlesung 28 (26.07.17)
 Stationäre Temperaturverteilung 
 Direkte Methoden 
  27.1 Das Dirichlet-Prinzip
  28.1 Approximation
  27.2 Das Zaremba-Problem
  28.2 Reduktion zu endlich vielen Variablen
 
  28.3 Konvergenz
   
Vorlesung 29 (28.07.17)  Vorlesung 30 (??.07.17)
 Die Ritz-Methode  Die Galerkin-Methode
  29.1 Basisfunktionen
  30.1 Lösungsverfahren
  29.2 Konvergenz
  30.2 Sonderfälle
  29.3 Beispiel   30.3 Beispiel
    30.4 Finite-Elemente-Methode