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 Aufbaumodul Analysis IV

Sommersemester 2017

 

Vorlesungsverzeichnis

 

Vorlesung 1 (18.04.17) 
Vorlesung 2 (20.04.17)
 Mannigfaltigkeiten  Untermannigfaltigkeiten des Euklidischen Raums
   1.1 Topologische Räume     2.1 Untermannigfaltigkeiten
   1.2 Lokale Koordinaten     2.2 Parameterdarstellung
   1.3.Glatte Struktur            2.3 Kurven      
   1.4 Differenzierbare Funktionen
    2.4 Flächen
   1.5 Projektive Räume
 
   
Vorlesung 3 (25.04.17)
Vorlesung 4 (27.04.17)
 Integration auf Untermannigfaltigkeiten
 Berechnung von Flächeninhalten
   3.1 Maßtensor
   4.1 Mehrdimensionales Volumen 
   3.2 Zerlegung der Eins
   4.2 Beispiele
   3.3 Definition des Integrals
  
   
Vorlesung 5 (04.05.17)
Vorlesung 6 (09.05.17)   
 Tangentialraum  Der Gaußsche Integralsatz 
   5.1 Tangentialvektoren
   6.1 Gebiete mit glattem Rand 
   5.2 Normalenvektoren
   6.2 Der Gaußsche Integralsatz 
   5.3 Normalenvektor an Hyperfläche
   6.3 Die Greensche Formel
   
Vorlesung 7 (11.05.17)  Vorlesung 8 (16.05.17) 
 Alternierende Multilinearformen 
 Differentialformen
   7.1 Alternierende Multilinearformen
   8.1 Pfaffsche Formen 
   7.2 Dachprodukt
   8.2 Differentialformen höherer Ordnung 
   7.3 Weitere Rechenregeln
   8.3 Die aüßere Ableitung 
      
   8.4 Nilpotenz des Differentials
   
Vorlesung 9 (18.05.17)  Vorlesung 10 (23.05.17) 
 Rücktransport von Differentialformen
 Der Satz von Poincaré  
   9.1 Rücktransport 
  10.1 Eine Homotopieformel 
   9.2 Invarianz des Differentials
  10.2 Sternförmige Gebiete
  
  10.3 Der Satz von Poincaré 
   
Vorlesung 11 (25.05.17) Vorlesung 12 (30.05.17) 
 Vektoranalysis
 Orientierung von Untermannigfaltigkeiten 
  11.1 Gradient
  12.1 Orientierung
  11.2 Rotation
  12.2 Umkehrung der Orientierung
  11.3 Divergenz
  12.3 Orientierung von Hyperflächen  
  11.4 Der de Rham Komplex
  12.4 Möbiusband
   
Vorlesung 13 (01.06.17) Vorlesung 14 (08.06.17)
 Integration von Differentialformen
 Der Satz von Stokes
  13.1 Integrale in lokalen Koordinaten
  14.1 Gebiete auf Mannigfaltigkeiten
  13.2 Invarianz des Integrals
  14.2 Induzierte Orientierung des Randes
  13.3 Integrale von Differentialformen
  14.3 Der Satz von Stokes
  13.4 Rechenregel
  14.4 Beweis für einen Halbraum
   
Vorlesung 15 (13.06.17) Vorlesung 16 (15.06.17)
 Klassische Spezialfälle    
 Holomorphe Funktionen
  15.1 Die Formel von Newton-Leibniz
  16.1 Komplex differenzierbare Funktionen
  15.2 Die Formel von Green
  16.2 Die Cauchy-Riemannschen Gleichungen
  15.3 Die Formel von Stokes 
  16.3 Holomorphie im Unendlichen
  15.3 Die Formel von Gauß-Ostrogradskij
 
   
Vorlesung 17 (20.06.17)  Vorlesung 18 (22.06.17)
 Integration im Komplexen
 Die Integralformel von Cauchy 
  17.1 Komplexe Kurvenintegrale 
  18.1 Die Cauchy-Formel
  17.2 Fundamentalsatz des Kalküls 
  18.2 Beweis
  17.3 Komplexe Form der Greenschen Formel
  18.3 Der Mittelwertsatz 
  17.4 Der Integralsatz von Cauchy
  18.4 Das Maximum-Prinzip
   
Vorlesung 19 (27.06.17)  Vorlesung 20 (29.06.17) 
 Potenzreihenentwicklungen  Analytische Fortsetzung
  19.1 Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen 
  20.1 Nullstellen holomorpher Funktionen
  19.2 Eindeutigkeit   20.2 Ein Eindeutigkeitssatz
  19.3 Die Cauchy-Ungleichungen 
  20.3 Analytische Fortsetzung 
  19.4 Der Satz von Liouville  
   
Vorlesung 21 (04.07.17)  Vorlesung 22 (06.07.17) 
 Isolierte Singularitäten holomorpher Funktionen 
 Die Laurentreihe
  21.1 Isolierte Singularitäten 
  22.1 Die Laurentreihe 
  21.2 Isolierte Singularitäten im Unendlichen
  22.2 Charakterisierung isolierter Singularitäten 
  21.3 Der komplexe Logarithmus 
  22.3 Polstellen
   
Vorlesung 23 (11.07.17)  Vorlesung 24 (13.07.17)
 Residuenkalkül
 Das logarithmische Residuum
  23.1 Residuen
  24.1 Die logarithmische Ableitung 
  23.2 Der Residuensatz
  24.2 Das logarithmische Residuum 
  23.3 Integrale von rationalen Funktionen
  24.Das Argumentprinzip 
   
Vorlesung 25 (18.07.17)  Vorlesung 26 (20.07.17)  
 Der Satz von Rouché 
 Konforme Abbildungen  
  25.1 Der Satz von Rouché 
  26.1 Winkeltreue Abbildungen 
  25.2 Der Fundamentalsatz der Algebra 
  26.2 Orientierung erhaltende Abbildungen
    26.3 Konforme Abbildungen 
   
Vorlesung 27 (25.07.17)  Vorlesung 28 (27.07.17) 
 Der Abbildungssatz von Riemann 
 Gebrochen-lineare Abbildungen
  27.1 Einfach zusammenhängende Gebiete
  28.1 Die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen 
  27.2 Der Abbildungssatz von Riemann 
  28.2 Erhaltung der Kreise 
  27.3 Beweisskizze
  28.3 Beispiel
   
Vorlesung 29 (??.07.17)  Vorlesung 30 (??.07.17) 
 ?
 ?
  29.1 
  30.1 
  29.2
  30.2
  29.3
  30.3
  29.4 
  30.4